Bài tập cấp số cộng có lời giải chi tiết

Bài viết trước đã nêu khá chi tiết về công thức cấp số cộng và những vẫn đề liên quan. Để hiểu sâu, chúng ta sẽ cùng nhau đi giải 10 bài tập cấp số cộng thường gặp trong đề thi. Chúng ta bắt đầu nào

Câu 1.[ Đề thi tham khảo 2019] Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên đó bằng:

A. 7650.

B. 7500.

C. 3900.

D. 3825.

Lời giải

Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng \(3n\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\) nên chúng lập thành cấp số cộng \(\begin{array}{l}{u_n} = 3n \to \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{50}} = 150\end{array} \right.\\ \to {S_{50}} = \frac{{50}}{2}\left( {{u_1} + {u_{50}}} \right) = 3825\end{array}\)

Chọn D.

Chú ý: \({S_n} = \frac{n}{2}\left( {{u_1} + {u_n}} \right) = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d.\)

Câu 2. [ Trích đề thi thử chuyên Vinh ] Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có d = – 2 và ${S_8} = 72.$ Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}.\)

A. ${u_1} = 16.$

B. ${u_1} = – 16$

C. ${u_1} = \frac{1}{{16}}.\,$

D. ${u_1} = – \frac{1}{{16}}.$

Lời giải

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}d = – 2\\72 = {S_8} = 8{u_1} + \frac{{8.7}}{2}d\end{array} \right.\\ \to 72 = 8{u_1} + 28.\left( { – 2} \right)\\ \Leftrightarrow {u_1} = 16\end{array}\)

Chọn A.

Câu 3. [ Trích đề thi thử chuyên Sư Phạm Hà Nội ] Một cấp số cộng có số hạng đầu là 1, công sai là 4, tổng của n số hạng đầu là 561. Khi đó số hạng thứ n của cấp số cộng đó là \({u_n}\) có giá trị là bao nhiêu?

A. \({u_n} = 57.\)

B. \({u_n} = 61.\)

C. \({u_n} = 65.\)

D. \({u_n} = 69.\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,\,\,d = 4\\561 = {S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d\end{array} \right.\\ \to 561 = n + \frac{{{n^2} – n}}{2}.4\\ \Leftrightarrow 2{n^2} – n – 561 = 0\\ \Leftrightarrow n = 17.\end{array}\)
\({u_n} = {u_{17}} = {u_1} + 16d = 1 + 16.4 = 65\)

Chọn C.

Câu 4. [ Trích đề thi thử chuyên PBC ] Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai \(d\) của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

A. d = 2.

B. d = 3.

C. d = 4.

D. d = 5.

Lời giải

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{12}} = 23\\{S_{12}} = 144\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 11d = 23\\\frac{{12}}{2}\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right) = 144\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = \frac{{23 – {u_1}}}{{11}} = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 5. [ Trích đề thi thử chuyên SPHN 2019 ] Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có ${u_4} = – 12$ và ${u_{14}} = 18.$ Tìm số hạng đầu tiên \({u_1}\) và công sai d của cấp số cộng đã cho.

A.${u_1} = – 21;{\rm{ }}d = 3.$

B. ${u_1} = – 20;{\rm{ }}d = – 3.$

C. ${u_1} = – 22;{\rm{ }}d = 3.$

D. ${u_1} = – 21;{\rm{ }}d = – 3\,.$

Lời giải.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} – 12 = {u_4} = {u_1} + 3d\\18 = {u_{14}} = {u_1} + 13d\end{array} \right.\\ \to \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = – 21\\d = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 6. [ Trích đề thi thử chuyên Lê Hồng Phong ] Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 25 ghế. Mỗi dãy sau có hơn dãy trước 3 ghế. Hỏi rạp hát có tất cả bao nhiêu ghế?

A. 1635.

B. 1792.

C. 2055.

D. 3125.

Lời giải

Số ghế của mỗi dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có 30 số hạng có công sai \(d = 3\) và \({u_1} = 25.\)

Tổng số ghế là \({S_{30}} = {u_1} + {u_2} + \cdots + {u_{30}} = 30{u_1} + \frac{{30.29}}{2}d = 2055\)

Chọn C.

Câu 7. [ Trích đề thi thử chuyên Nguyễn trãi ] Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây,…Hỏi có tất cả bao nhiêu hàng cây?

A. 73.

B. 75.

C. 77.

D. 79.

Lời giải

Số cây mỗi hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 1,\,\,d = 1.\) Giả sử có n hàng cây thì \({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_n} = 3003 = {S_n}.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}3003 = {S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d\\ \Leftrightarrow {n^2} + n – 6006 = 0 \Leftrightarrow n = 77\end{array}\)

Chọn C.

Câu 8. [ Trích đề thi thử chuyên Sơn La ] Một chiếc đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm 0 (giờ) thì sau mỗi giờ thì số tiếng chuông được đánh đúng bằng số giờ mà đồng hồ chỉ tại thời điểm đánh chuông. Hỏi một ngày đồng hồ đó đánh bao nhiêu tiếng chuông?

A. 78.

B. 156.

C. 300.

D. 48.

Lời giải

Kể từ lúc 1 (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông được đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với \({u_1} = 1,\) công sai \(d = 1.\) Vậy số tiếng chuông được đánh trong 1 ngày là:

\(\begin{array}{l}S = {S_{24}} = \frac{{24}}{2}\left( {{u_1} + {u_{24}}} \right)\\ = 12\left( {1 + 24} \right) = 300\end{array}\)

Chọn C.

Câu 9. [ Trích đề thi thử chuyên Bình Định ] Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều hơn ô thứ hai là 5,… và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô vuông?

A. 98.

B. 100.

C. 102.

D. 104.

Lời giải

Số hạt dẻ trên mỗi ô (bắt đầu từ ô thứ nhất) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 7,\,\,d = 5.\) Gọi n là số ô trên bàn cờ thì \({u_1} + {u_2} + \cdots + {u_n} = 25450 = {S_n}.\)

Ta có \(25450 = {S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}d = 7n + \frac{{{n^2} – n}}{2}.5\)
\( \Leftrightarrow 5{n^2} + 9n – 50900 = 0 \Leftrightarrow n = 100\)Chọn B.

Câu 10. [ Trích đề thi thử chuyên KHTN ] Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_n} = – 1,{u_{n + 1}} = 8$. Tính công sai \(d\) cảu cấp số cộng đó.

A. d = – 9.

B. d = 7.

C. d = – 7.

D. d = 9.

Lời giải

\(d = {u_{n + 1}} – {u_n} = 8 – \left( { – 1} \right) = 9\) Chọn D.

Trên là những bài tập cấp số cộng được lựa chọn từ các đề thi minh họa, để thi thử của nhiều trường chuyên. Mong rằng nó sẽ giúp ích được nhiều cho bạn.

One Comment