Bài tập minh họa cấp số nhân có lời giải

Nhằm giúp bạn học tốt cấp số nhân tốt, nhớ được những công thức chính xác thì bài viết này giới thiệu bài tập minh họa cấp số nhân có lời giải chi tiết. Mỗi bài sẽ được viết dưới hình thức trắc nghiệm sau đó có lời giải cần thận

Bài tập minh họa cấp số nhân

Câu 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right) $với ${u_1} = 3;{\text{ q = }} – 2 $. Số 192 là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right) $?

A. Số hạng thứ 5.

B. Số hạng thứ 6.

C. Số hạng thứ 7.

D. Không là số hạng của cấp số đã cho.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow 192 = 3.{\left( { – 2} \right)^{n – 1}} \Rightarrow {\left( { – 2} \right)^{n – 1}} = 64 \Rightarrow n – 1 = 6 \Rightarrow n = 7 $.

Câu 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right) $ với ${u_1} = 3;{\text{ }}q = \frac{{ – 1}}{2} $. Số 222 là số hạng thứ mấy của $\left( {{u_n}} \right) $?

A. Số hạng thứ 11

B. Số hạng thứ 12

C. Số hạng thứ 9

D. Không là số hạng của cấp số đã cho

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Rightarrow 222 = 3.{\left( { – \frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} \Rightarrow {\left( { – \frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} = 74 $.

Vậy $222 $không là số hạng của cấp số đã cho.

Câu 3: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm ${u_1}$ biết: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} = 15}\\ {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = 85} \end{array}} \right.$

A. ${u_1} = 1,{u_1} = 2$

B. ${u_1} = 1,{u_1} = 8$

C. ${u_1} = 1,{u_1} = 5$

D. ${u_1} = 1,{u_1} = 9$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1}(1 + q + {q^2} + {q^3}) = 15\\ u_1^2\left( {1 + {q^2} + {q^4} + {q^6}} \right) = 85 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}} = 15\\ u_1^2\frac{{{q^8} – 1}}{{{q^2} – 1}} = 85 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {\left( {\frac{{{q^4} – 1}}{{q – 1}}} \right)^2}\left( {\frac{{{q^2} – 1}}{{{q^8} – 1}}} \right) = \frac{{45}}{{17}}\\ \Leftrightarrow \frac{{({q^4} – 1)(q + 1)}}{{(q – 1)({q^4} + 1)}} = \frac{{45}}{{17}}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 2\\ q = \frac{1}{2} \end{array} \right. \end{array}$

Từ đó ta tìm được ${u_1} = 1,{u_1} = 8$.

Câu 4: Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác không, tìm ${u_1}$ biết: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11}\\ {{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}} \end{array}} \right.$

A. ${u_1} = \frac{1}{{11}},{u_1} = \frac{{81}}{{11}}$

B. ${u_1} = \frac{2}{{11}},{u_1} = \frac{{20}}{{11}}$

C.${u_1} = \frac{1}{{11}},{u_1} = \frac{{21}}{{12}}$

D. ${u_1} = \frac{2}{{11}},{u_1} = \frac{{81}}{{11}}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4}} \right) = 11\\ {u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1}q(1 + q + {q^2}) = \frac{{39}}{{11}}\\ {u_1}(1 + {q^4}) = \frac{{82}}{{11}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}} \Leftrightarrow q = 3,q = \frac{1}{3} \end{array}$

Câu 14: Dãy số $({u_n})$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: ${u_n} = 2n$
A. $q = 3$

B. $q = 2$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset $

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{n}$ phụ thuộc vào n suy ra dãy $({u_n})$ không phải là cấp số nhân.

Câu 15: Dãy số $({u_n})$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: ${u_n} = {4.3^n}$

A. $q = 3$

B. $q = 2$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset $

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{4.3}^{n + 1}}}}{{{{4.3}^n}}} = 3$ không phụ thuộc vào n suy ra dãy $({u_n})$ là một cấp số nhân với công bội $q = 3$.

Câu 16: Dãy số $({u_n})$ có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ? Biết: ${u_n} = \frac{2}{n}$.

A. $q = 3$

B. $q = \frac{1}{2}$

C. $q = 4$

D. $q = \emptyset $

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{n + 1}}:\frac{2}{n} = \frac{n}{{n + 1}}$ phụ thuộc vào $n$.

Suy ra dãy $({u_n})$ không phải là cấp số nhân.