Bộ công thức cấp số cộng đầy đủ

Cấp số cộng là phép tính được học lớp 11, thuộc khối THPT. Gần đây nó xuất hiện trong đề thi minh họa của BGD&ĐT 2020. Bài viết này sẽ nếu chi tiết về cấp số cộng là gì? công thức cấp số cộng? Tính chất quan trọng của cấp số cộng?

Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa:

Một dãy số vô hạn hay hữu hạn mà nó thỏa mãn điều kiện hai số liền kề nhau sai khác nhau một hằng số (không đổi) thì gọi là cấp số cộng.

Ví dụ

  • dãy số 3, 6, 9, 12, 15, … là một cấp số cộng
  • dãy số 1, 4, 7, 10, 13, … là một cấp số cộng

Công thức cấp số cộng

Công thức

${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ với ∀n ≥ 2 (*)

Giải thích

  • ${u_n}$ là cấp số cộng
  • d là công sai
  • ${u_{n + 1}} – {u_n}$ là hằng số d với mọi n ∈ N* thì ${u_n}$ là cấp số cộng có công sai là d.
  • ${u_{n + 1}} – {u_n}$ còn phụ thuộc vào n thì không thể là cấp số cộng

Tính chất quan trọng

  • Từ hệ thức (*), ta suy ra: ${u_n} = \frac{{{u_{n – 1}} + {u_{n + 1}}}}{2}$, với ∀n ≥ 2
  • Tổng quát hóa: m, n, q là cấp số cộng thì m + q = 2n

Tổng quát hóa

  • n ≥ 1 thì ${A_m} = {a_1} + {a_2} + … + {a_m} = \frac{{m\left( {{a_1} + {a_m}} \right)}}{2}$
  • n ≥ 2 thì ${A_m} = {a_1} + {a_2} + … + {a_m} = m{u_1} + \frac{{m\left( {m – 1} \right)}}{2}d$

Ví dụ minh họa

Câu 1. Cho hai số – 3 và 23 Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n

A. n = 12.

B. n = 13.

C. n = 14.

D. n = 15.

Lời giải

Theo giả thiết thì ta được một cấp số cộng có \(n + 2\) số hạng với \({u_1} = – 3,\,\,{u_{n + 2}} = 23.\)

$\begin{array}{l} {u_{n + 2}} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\\ \Leftrightarrow n + 1 = \frac{{{u_{n + 2}} – {u_1}}}{d}\\ = \frac{{23 – \left( { – 3} \right)}}{2} = 13\\ \Leftrightarrow n = 12 \end{array}$

Chọn A.

Câu 2. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có các số hạng đầu lần lượt là \(5;\,{\rm{ }}9;{\rm{ }}\,13;\,{\rm{ }}17;{\rm{ }} \cdots \). Tìm số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng.

A. \({u_n} = 4n + 1.\)

B. \({u_n} = 5n – 1.\)

C. \({u_n} = 4n + 1.\)

D. \({u_n} = 4n – 1.\)

Lời giải

Các số \(5;\,{\rm{ }}9;{\rm{ }}\,13;\,{\rm{ }}17;{\rm{ }} \cdots \)theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) nên

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = {u_2} – {u_1} = 4\end{array} \right.\\ \to {u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d\\ = 5 + 4\left( {n – 1} \right) = 4n + 1\end{array}\)

Chọn C.

Câu 3. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_3} = 15\) và \(d = – 2\). Tìm \({u_n}.\)

A. \({u_n} = – 2n + 21.\)

B. \({u_n} = – \frac{3}{2}n + 12.\)

C. \({u_n} = – 3n – 17.\)

D. \({u_n} = \frac{3}{2}{n^2} – 4.\)

Lời giải

Ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}15 = {u_3} = {u_1} + 2d\\d = – 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 19\\d = – 2\end{array} \right.\\ \to {u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d = – 2n + 21.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 4. Một cấp số cộng có 6 số hạng. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 17; tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ tư bằng 14. Tìm công sai d của câp số cộng đã cho.
A. d = 2.

B. d = – 3.

C. d = 4.

D. d = 5.

Lời giải

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + {u_6} = 17\\ {u_2} + {u_4} = 14 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{u_1} + 5d = 17\\ 2{u_1} + 6d = 14 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 16\\ d = – 3 \end{array} \right. \end{array}$

Chọn B.

Câu 5. Cho cấp số cộng \({u_1};\,{\rm{ }}{u_2};{\rm{ }}{u_3};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}{u_n}\) có công sai \(d,\) các số hạng của cấp số cộng đã cho đều khác \(0.\) Với giá trị nào của d thì dãy số \(\frac{1}{{{u_1}}};\,{\rm{ }}\frac{1}{{{u_2}}};{\rm{ }}\frac{1}{{{u_3}}};{\rm{ }} \cdots ;{\rm{ }}\frac{1}{{{u_n}}}\) là một cấp số cộng?

A. d = – 1.

B. d = – 2.

C. d = 1.

D. d = 2.

Lời giải

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} – {u_1} = d\\{u_3} – {u_2} = d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{u_2}}} – \frac{1}{{{u_1}}} = – \frac{d}{{{u_1}{u_2}}}\\\frac{1}{{{u_3}}} – \frac{1}{{{u_2}}} = – \frac{d}{{{u_2}{u_3}}}\end{array} \right..$

Theo yêu cầu bài toán thì ta phải có $\frac{1}{{{u_2}}} – \frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{{u_3}}} – \frac{1}{{{u_2}}}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\\frac{1}{{{u_1}}} = \frac{1}{{{u_3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 0\\{u_1} = {u_3} = {u_1} + 2d\end{array} \right. \Leftrightarrow d = 0$

Chọn B.

Bài viết này đã nếu rõ công thức cơ bản cũng như công thức tổng quát về cấp số cộng. Hy vọng với trình bày cụ thể của bài viết sẽ giúp em học tốt phần cấp số cộng.

3 Comments