8+ bộ công thức cấp số nhân đầy đủ

Giống như cấp số cộng thì cấp số nhân là một kiến thức quan trọng được học lớp 11 bậc THPT . Đây là phép toán thường xuyên được dùng nên bạn phải để ý. Trong loạt bài viết này sẽ giới thiệu với bạn công thức cấp số cộng, bài tập có lời giải, bài tập trắc nghiệm, … Bài viết hôm nay sẽ chủ yếu bàn về những khái niệm cơ bản

cấp số nhân

Cấp số nhân là gì?

Một dãy số hữu hạn ( hoặc vô hạn) mà có đặc điểm: u$_{n+1}$ = u$_n$.q (1)

  • n ∈ N*
  • Lúc này q được gọi là công bội

Khi đó u$_n$ được gọi là cấp số nhân

Tổng quát hóa

Giả sử một cấp số nhân bất kì có:

  • số hạng đầu u$_1$
  • công bội giả sử là q

Khi đó công thức tổng quát hóa cho mọi cấp số nhân là: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$ với n ≥ 2 (2)

Tính chất các số hạng

Từ công thức (1) và (2) ta suy ra tính chất của một số hạng bất kì u$_k$ luôn thỏa mãn: $u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}$với k ≥ 2

Tổng n số hạng đầu tiên

Xét một cấp số nhân bất kì thì theo biểu thức (2) ta suy ra công thức tổng quát tính tổng của n số hạng đầu tiên theo biểu thức:

$\left[ \begin{array}{l} {S_n} = n{u_1},\,\,q = 1\\ {S_n} = \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}},\,\,q \ne 1 \end{array} \right.$

Công thức cấp số nhân lùi vô hạn

Nếu một cấp số nhân có công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$ với n ≥ 2 mà công bội q lại luôn có giá trị thỏa mãn |q| < 1 thì cấp số nhân đó được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Giả sử có một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội là q thì công thức tổng quát là: $S = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}$

Trong đó cần lưu ý:

  • công bội thỏa mãn |q| < 1.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$: $x;{\text{ }} – {x^3};{\text{ }}{x^5};{\text{ }} – {x^7};{\text{ }}…$ (với $x \in R$, $x \ne 1$, $x \ne 0$). Chọn mệnh đề sai:

A. $\left( {{u_n}} \right)$là dãy số không tăng, không giảm.

B. $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số nhân có ${u_n} = {\left( { – 1} \right)^{n – 1}}.{x^{2n – 1}}.$

C. $\left( {{u_n}} \right)$có tổng ${S_n} = \frac{{x(1 – {x^{2n – 1}})}}{{1 – {x^2}}}$

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có ${u_1} = x$, $q = – {x^2}.$

Câu 2: Cho cấp số nhân có ${u_1} = 3$, $q = \frac{2}{3}$. Chọn kết quả đúng:

A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: $2;{\text{ }}\frac{4}{3};{\text{ }}\frac{8}{3};{\text{ }}\frac{{16}}{3}.$

B. ${u_n} = 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n – 1}}.$

C. ${S_n} = 9.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} – 9.$

D. $\left( {{u_n}} \right)$ là một dãy số tăng.

Câu 3: Cho cấp số nhân có ${u_1} = – 3$, $q = \frac{2}{3}$. Tính ${u_5}?$

A. ${u_5} = \frac{{ – 27}}{{16}}.$

B. ${u_5} = \frac{{ – 16}}{{27}}.$

C. ${u_5} = \frac{{16}}{{27}}.$

D. ${u_5} = \frac{{27}}{{16}}.$

Mọi thắc mắc vui lòng để lại comment bên dưới bình luận!