Điều kiện dãy số lập thành cấp số cộng

Đối với các bạn học sinh có lẽ không còn xa lạ gì với cấp số cộng, dãy số, đây là một trong những phép toán cơ bản thướng xuyên được dùng ở bậc THPT. Bài viết này sẽ giới thiệu thêm về điều kiện dãy số lập thành cấp số cộng để học sinh hiểu thêm.

Cơ sở lý thuyết

A, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC <=> a + c = 2b

Bài tập vận dụng

Câu 1: 2b, a, c. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. ${a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc + 2ac$.

B. ${a^2} – {c^2} = 2ab + 2bc – 2ac$.

C. ${a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc – 2ac$.

D. ${a^2} – {c^2} = 2ab – 2bc + 2ac$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}b – a = c – b\\ \Leftrightarrow {\left( {b – a} \right)^2} = {\left( {c – b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} – {c^2} = 2ab – 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} = 2{c^2} + 2ab – 2bc = 2ab + 2c\left( {c – b} \right)\\ = 2ab + 2c\left( {b – a} \right) = 2ab + 2bc – 2ac\end{array}$

Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?
A. $2{b^2},a,{c^2}$.

B. – 2b, – 2a, – 2c.

C. – 2b, – 2a, – 2c.

D. 2b, – a, – c.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có $a,b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $a + c = 2b$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow – 2\left( {b + c} \right) = – 2.2a\\ \Leftrightarrow \left( { – 2b} \right) + \left( { – 2c} \right) = 2\left( { – 2a} \right)\end{array}$

$ \Leftrightarrow – 2b, – 2a, – 2c$ lập thành một cấp số cộng

Câu 3: Xác định x để 3 số : $1 – x;{x^2};1 + x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của $x$.

B. $x = \pm 2$.

C.$x = \pm 1$.

D. $x = 0$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ba số : $1 – x;{x^2};1 + x$ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi${x^2} – \left( {1 – x} \right) = 1 + x – {x^2}$

$ \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1$ suy ra chọn đáp án C.

Câu 4: Xác định $x$ để 3 số :$1 + 2x;2{x^2} – 1; – 2x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A.$x = \pm 3$.

B. $x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

C. $x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4}$.

D. Không có giá trị nào của $x$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.
Ba số :$1 + 2x;2{x^2} – 1; – 2x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
$2{x^2} – 1 – 1 – 2x = – 2x – 2{x^2} + 1$
$ \Leftrightarrow 4{x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Suy ra chọn đ$x + \frac{5}{3}y,y – 1,2x – 3y$áp án B.

Câu 5: Tìm x, y biết: Các số $x + 6y,5x + 2y,8x + y$ lập thành cấp số cộng và các số lập thành cấp số nhân.

A. \((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\)

B. \((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{1}{8};\frac{1}{8}} \right)\)

C. \((x;y) = \left( {3;1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\)

D. \((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{{12}}{8};\frac{1}{8}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\(x + \frac{5}{3}y)(2x – 3y) = {(y – 1)^2}\end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y) = \left( { – 3; – 1} \right);\left( {\frac{3}{8};\frac{1}{8}} \right)\).

Câu 6: Tìm \(m\) để phương trình: \({x^3} – 3m{x^2} + 4mx + m – 2 = 0\) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
A. \(\left[ \begin{array}{l}m = – \frac{1}{{27}}\\m = 0\end{array} \right.\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{10}}{7}\\m = 0\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}m = – 1\\m = 0\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}m = – \frac{{10}}{{27}}\\m = 0\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Giả sử phương trình có ba nghiệm \(a,b,c\) lập thành CSN

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}abc = 2 – m\\{b^2} = ac\end{array} \right. \Rightarrow m = 2 – {b^3}\) thay vào phương trình ta có
\((3b – 4)({b^3} – 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{4}{3} \Rightarrow m = – \frac{{10}}{{27}}\\b = \sqrt[3]{2} \Rightarrow m = 0\end{array} \right.\)

Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

Trên là kiến thức về dãy số lập thành cấp số cộng. Mọi thắc mắc vui lòng để lại phần bình luận để admin sẽ giải đáp nhanh nhất!