Bài tập trắc nghiệm cấp số cộng và các yếu tố của liên quan

Để học sinh có thể học tốt và nhớ lâu công thức cấp số cộng thì bài viết này sẽ giới thiệu bộ công thức đã được học và 7 bài tập trắc nghiệm cấp số cộng. Các bài tập được sắp xếp từ căn bản tới nâng cao, mỗi bài tập đều có lời giải chi tiết.

Cơ sở lý thuyết

  • Dãy số \(({u_n})\) là một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} – {u_n} = d\) không phụ thuộc vào n và \(d\) là công sai.
  • Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow a + c = 2b\).
  • Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({u_1}\) và \(d\).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho một cấp số cộng có ${u_1} = – 3;\,\,{u_6} = 27$. Tìm $d$ ?

A. d = 5.

B. d = 7.

C. d = 6.

D. d = 8.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_6} = 27 \Leftrightarrow {u_1} + 5d = 27\\ \Leftrightarrow – 3 + 5d = 27\\ \Leftrightarrow d = 6\end{array}\)

Câu 2: Cho dãy số\(\left( {{u_n}} \right)\)với :\({u_n} = \frac{1}{2}n + 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.

B. Số hạng thứ n + 1:${u_{n + 1}} = \frac{1}{2}n$.

C. Hiệu :${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{1}{2}$.

D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: \({S_5} = 12\).

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {n + 1} \right) + 1\\ = \frac{1}{2}n + 1 + \frac{1}{2}\\ = {u_n} + \frac{1}{2},\forall n \in {N^*}\end{array}$

Đáp án C đúng.

Câu 3: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có: ${u_1} = – 0,3;\,\,{u_8} = 8$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.

B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.

C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.

D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_8} = 8 \Leftrightarrow {u_1} + 7d = 8\\ \Leftrightarrow 0,3 + 7d = 8\\ \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{{10}}\end{array}\)
Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ là: \({u_n} = 0,3 + \frac{{11}}{{10}}\left( {n – 1} \right)\) \( \Rightarrow {u_7} = 6,9\)

Câu 4: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có ${u_1} = \sqrt 2 ;d = \sqrt 2 ;S = 21\sqrt 2 $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.

B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.

C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.

D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right]}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2.21\sqrt 2 = n.\left( {2.\sqrt 2 + \left( {n – 1} \right).\sqrt 2 } \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + n – 21 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 6\\n = – 7\end{array} \right.\end{array}$

Do $n \in {N^*} \Rightarrow n = 6$.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 5: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ : \(\frac{1}{2};{\rm{ – }}\frac{1}{2};{\rm{ – }}\frac{3}{2};{\rm{ – }}\frac{5}{2};…{\rm{ }}\) Khẳng định nào sau đây sai?

A. (un) là một cấp số cộng.

B. có $d = – 1$.

C. Số hạng ${u_{20}} = 19,5$.

D. Tổng của $20$ số hạng đầu tiên là $ – 180$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$\begin{array}{l} – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + ( – 1);\\{\rm{ – }}\frac{3}{2} = – \frac{1}{2} + ( – 1);\\{\rm{ – }}\frac{5}{2} = – \frac{3}{2} + ( – 1);…..\end{array}$

Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai $d = – 1$.

Ta có ${u_{20}} = {u_1} + 19d = – 18,5$.

Câu 6: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có ${u_n} = \frac{{2n – 1}}{3}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (un) là cấp số cộng có u1 = $\frac{1}{3};{\rm{ d}} = – \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}$.

B. (un) là cấp số cộng có u1 = \(\frac{1}{3};{\rm{ d}} = \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}\).

C. (un) không phải là cấp số cộng.

D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

${u_{n + 1}} – {u_n} = \frac{{2(n + 1) – 1}}{3} – \frac{{2n – 1}}{3} = \frac{2}{3}$

Ta có và ${u_1} = \frac{1}{3}$.

Câu 7: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.

A. b = 15,c = 20,d = 25,a = 12

B. b = 16,c = 20,d = 25,a = 12

C. b = 15,c = 25,d = 25,a = 12

D. b = 16,c = 20,d = 25,a = 18

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi bốn số đó là \(a,b,c,d\) ta có hệ :

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + d = 37\\c + b = 36\\a + c = 2b\\bd = {c^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 37 – d\\c = 36 – b\\d = 73 – 3b\\b(73 – 3b) = {(36 – b)^2}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow b = 16,c = 20,d = 25,a = 12\).

Trên là những bài tập trắc nghiệm cấp số cộng khá hay, hy vọng đã giúp ích được cho mọi người. Mọi thắc mắc vui lòng để lại dưới phần bình luận