Xác định cấp số nhân và các yêu tố của cấp số nhân

Vời nhiều học sinh thì cấp số nhân không còn xa lạ gì bởi đây là dạng toán thường xuyên gặp trong bài thi THPT. Nhằm giúp học sinh hiểu sâu về kiến thức này các em cần xem lại bài lý thuyết cấp số nhân đã được viết trước đó
cấp số nhân

Cơ sở phương pháp

  • Cho 3 số a,b,c theo thứ tự được lập thành CSC thỏa mãn $ \Leftrightarrow ac = {b^2}$.
  • Muốn xác định 1 dãy số là cấp số nhân, ta cần phải XĐ cộng bội và số hạng đầu: ${u_1}$ và $q$.
  • Giả sử $({u_n})$ là 1 CSN thì $ \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q$ sẽ không phụ thuộc vào q và n

Bài tập cấp số nhân

Câu 1: Người ta cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Hãy chọn khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát u$_n$ = 1$^n$ =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u$_1$= –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát u$_n$ = (–1)$^{2n}$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $1 = – 1( – 1);{\text{ }} – 1 = 1( – 1) $. Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\text{ q = }} – {\text{1}} $.

Câu 2. Cho dãy số : $1;{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{\text{2}}};{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{\text{4}}};{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{\text{8}}};{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{16}}}};{\text{ }}…$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số trên là dãy số giảm.

B. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{{{2^n}}}$.

C. Số hạng tổng quát un = $\frac{1}{{{2^{n – 1}}}}$.

D. Dãy số trên là cấp số nhân có u1= 1, q = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} = 1.\frac{1}{2};\\ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2};\\ \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2};…. \end{array}$

Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với ${u_1} = 1;{\text{ q = }}\frac{1}{2} $.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nân ta có : ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n – 1}} = \frac{1}{{{2^{n – 1}}}} $.

Câu 3. Người ta cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Hãy chọn khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\text{ q = 1}}{\text{.}} $

C. Số hạng tổng quát ${u_n} = {( – 1)^n}. $

D. Là dãy số giảm.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\text{ q = 1}}{\text{.}} $

Câu 4. Cho dãy số: $ – 1;{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{\text{3}}};{\text{ }} – \frac{{\text{1}}}{{\text{9}}};{\text{ }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{27}}}};{\text{ }} – \frac{{\text{1}}}{{{\text{81}}}}$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.

B. Dãy số này là cấp số nhân có ${u_1} = – 1;{\text{ q = }} – \frac{1}{3} $.

C. Số hạng tổng quát. ${u_n} = {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}} $

D. Là dãy số không tăng, không giảm.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: $\frac{1}{3} = – 1.\left( { – \frac{1}{3}} \right);{\text{ }} – \frac{1}{9} = – \frac{1}{3}.\left( { – \frac{1}{3}} \right);{\text{ }}\frac{1}{{27}} = – \frac{1}{9}.\left( { – \frac{1}{3}} \right);……. $ Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = – 1;{\text{ q = – }}\frac{1}{3} $.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} = – 1{\left( { – \frac{1}{3}} \right)^{n – 1}} = {\left( { – 1} \right)^n}.\frac{1}{{{3^{n – 1}}}} $.

Câu 5. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right) $ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\rm{ }}{{\rm{u}}_7} = – 32 $. Tìm q ?

A. $q = \pm \frac{1}{2}$.

B. $q = \pm 2$.

C. $q = \pm 4$.

D. $q = \pm 1$.

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6} \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} q = 2 \hfill \\ q = – 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. $

Câu 6. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right) $ với ${u_1} = – 2;{\text{ q = – 5}} $. Viết $3 $ số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?

A. $10;{\text{ 50; }} – 250;{\text{ }}\left( { – 2} \right){\left( { – 5} \right)^{n – 1}} $.

B. $10;{\text{ }} – {\text{50; }}250;{\text{ 2}}{\text{.}} – {5^{n – 1}} $.

C. $10;{\text{ }} – {\text{50; }}250;{\text{ }}\left( { – 2} \right){.5^n} $.

D. $10;{\rm{ }} – {\rm{50; }}250;{\rm{ }}\left( { – 2} \right){\left( { – 5} \right)^{n – 1}} $.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có

$\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = \left( { – 2} \right).\left( { – 5} \right) = 10;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = 10.\left( { – 5} \right) = – 50;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = – 50.\left( { – 5} \right) = 250 \end{array}$

Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = \left( { – 2} \right).{\left( { – 5} \right)^{n – 1}} $.

Câu 7. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right) $ với ${u_1} = 4;{\text{ }}q = – 4 $. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát ${u_n} $?

A. $ – 16;{\text{ 64; }} – 256;{\text{ }} – {\left( { – 4} \right)^n} $.

B. $ – 16;{\text{ 64; }} – 256;{\text{ }}{\left( { – 4} \right)^n} $.

C. $ – 16;{\text{ 64; }} – 256;{\text{ 4}}{\left( { – 4} \right)^n} $.

D. $ – 16;{\text{ 64; }} – 256;{\text{ }}{{\text{4}}^n} $.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có

$\begin{array}{l} {u_2} = {u_1}.q = 4.\left( { – 4} \right) = – 16;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_3} = {u_2}.q = – 16.\left( { – 4} \right) = 64;{\rm{ }}\\ {{\rm{u}}_4} = {u_3}.q = 64.\left( { – 4} \right) = – 256 \end{array}$

Số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} = 4.{\left( { – 4} \right)^{n – 1}} $.